If there are 16 teams (A to P) of 4 you might consider the schedule below. It does meet your criteria, and no pair of players play together twice even if you use all 8 rounds. But note that team A members never oppose B, C never oppose D, etc... A bonus is that you could remove the last column and have a schedule for the 14 teams (A to N).
r p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8
1 A1 C2 E3 G4 J1 L2 N3 P4
1 A2 C1 E4 G3 J2 L1 N4 P3
1 A3 C4 E1 G2 J3 L4 N1 P2
1 A4 C3 E2 G1 J4 L3 N2 P1
1 B1 D2 F3 H4 I1 K2 M3 O4
1 B2 D1 F4 H3 I2 K1 M4 O3
1 B3 D4 F1 H2 I3 K4 M1 O2
1 B4 D3 F2 H1 I4 K3 M2 O1
2 A1 C3 F1 H3 J2 L4 M2 O4
2 A2 C4 F2 H4 J1 L3 M1 O3
2 A3 C1 F3 H1 J4 L2 M4 O2
2 A4 C2 F4 H2 J3 L1 M3 O1
2 B1 D3 E1 G3 I2 K4 N2 P4
2 B2 D4 E2 G4 I1 K3 N1 P3
2 B3 D1 E3 G1 I4 K2 N4 P2
2 B4 D2 E4 G2 I3 K1 N3 P1
3 A1 C4 F3 H2 I2 K3 N4 P1
3 A2 C3 F4 H1 I1 K4 N3 P2
3 A3 C2 F1 H4 I4 K1 N2 P3
3 A4 C1 F2 H3 I3 K2 N1 P4
3 B1 D4 E3 G2 J2 L3 M4 O1
3 B2 D3 E4 G1 J1 L4 M3 O2
3 B3 D2 E1 G4 J4 L1 M2 O3
3 B4 D1 E2 G3 J3 L2 M1 O4
4 A1 D1 F2 G2 J4 K4 M3 P3
4 A2 D2 F1 G1 J3 K3 M4 P4
4 A3 D3 F4 G4 J2 K2 M1 P1
4 A4 D4 F3 G3 J1 K1 M2 P2
4 B1 C1 E2 H2 I4 L4 N3 O3
4 B2 C2 E1 H1 I3 L3 N4 O4
4 B3 C3 E4 H4 I2 L2 N1 O1
4 B4 C4 E3 H3 I1 L1 N2 O2
5 A1 D2 F4 G3 I4 L3 N1 O2
5 A2 D1 F3 G4 I3 L4 N2 O1
5 A3 D4 F2 G1 I2 L1 N3 O4
5 A4 D3 F1 G2 I1 L2 N4 O3
5 B1 C2 E4 H3 J4 K3 M1 P2
5 B2 C1 E3 H4 J3 K4 M2 P1
5 B3 C4 E2 H1 J2 K1 M3 P4
5 B4 C3 E1 H2 J1 K2 M4 P3
6 A1 D3 E2 H4 I3 L1 M4 P2
6 A2 D4 E1 H3 I4 L2 M3 P1
6 A3 D1 E4 H2 I1 L3 M2 P4
6 A4 D2 E3 H1 I2 L4 M1 P3
6 B1 C3 F2 G4 J3 K1 N4 O2
6 B2 C4 F1 G3 J4 K2 N3 O1
6 B3 C1 F4 G2 J1 K3 N2 O4
6 B4 C2 F3 G1 J2 K4 N1 O3
7 A1 D4 E4 H1 J3 K2 N2 O3
7 A2 D3 E3 H2 J4 K1 N1 O4
7 A3 D2 E2 H3 J1 K4 N4 O1
7 A4 D1 E1 H4 J2 K3 N3 O2
7 B1 C4 F4 G1 I3 L2 M2 P3
7 B2 C3 F3 G2 I4 L1 M1 P4
7 B3 C2 F2 G3 I1 L4 M4 P1
7 B4 C1 F1 G4 I2 L3 M3 P2
8 A1 C1 E1 G1 I1 K1 M1 O1
8 A2 C2 E2 G2 I2 K2 M2 O2
8 A3 C3 E3 G3 I3 K3 M3 O3
8 A4 C4 E4 G4 I4 K4 M4 O4
8 B1 D1 F1 H1 J1 L1 N1 P1
8 B2 D2 F2 H2 J2 L2 N2 P2
8 B3 D3 F3 H3 J3 L3 N3 P3
8 B4 D4 F4 H4 J4 L4 N4 P4