I have found the schedule below by computer search and think that it may work for your competition. The teams are labelled A to P and unfortunately the schedule is not completely balanced as there are four pairs of teams who play twice, these are (E P), (F K), (H M) & (N O). All other pairs of teams play once or not at all. All 16 teams should appear once in every column and once in every row, and because of this symmetry, the 12 rows could either be rounds or activities and respectively the 12 columns could either be activities or rounds.
(C N) (---) (F L) (E M) (---) (---) (I K) (---) (H P) (A G) (D O) (B J)
(A J) (B F) (---) (D K) (I P) (---) (---) (M O) (---) (E L) (H N) (C G)
(E I) (G K) (J N) (---) (B D) (F H) (---) (---) (L M) (---) (C P) (A O)
(H L) (A P) (G M) (B I) (---) (C K) (F J) (---) (---) (N O) (---) (D E)
(B K) (J L) (C I) (N P) (H O) (---) (A E) (D G) (---) (---) (F M) (---)
(---) (E H) (A D) (L O) (C M) (B G) (---) (J P) (F K) (---) (---) (I N)
(F O) (---) (B H) (A C) (E N) (I M) (G L) (---) (D J) (K P) (---) (---)
(---) (C O) (---) (H J) (F K) (A N) (D P) (I L) (---) (B M) (E G) (---)
(---) (---) (K O) (---) (G J) (D L) (H M) (B N) (C E) (---) (A I) (F P)
(D M) (---) (---) (F G) (---) (E P) (N O) (C H) (A B) (I J) (---) (K L)
(G P) (M N) (---) (---) (A L) (---) (B C) (E F) (I O) (D H) (J K) (---)
(---) (D I) (E P) (---) (---) (J O) (---) (A K) (G N) (C F) (B L) (H M)
A balanced schedule is called a Howell Design and I believe there will be a mathematical construction where all 96 pairs of teams are different, but unfortunately I don't have access to the relevant literature to confirm this.
Hope that helps.
